Ражовий пояснює, що прийменник «до» використовується зі словом «день» у значенні приуроченості до якоїсь події. Поза таким контекстом використовується прийменник «к». Таким чином, правильно: зробити подарунок до Дня міста; написати вірші до дню народження.
Тому відповідь на поставлене запитання однозначна: правильно писати «з днем народження», всі слова з малої (маленької) літери.
День народження, день народження або День народження Як правильно: день народження. Чому: за правилами російської мови з великої літери пишуться назви офіційних свят. Наприклад: День знань, День захисту дітей, Новий рік і таке інше. Зверніть увагу: перше слово з великої літери, решта з маленької.