Щоб знайти найбільше і найменше значення неперервної функції f(x) на проміжку [а; b], треба обчислити її значення f(a) і f(b) на кінцях даного проміжку і в критичних точках, що належать цьому проміжку, та вибрати з них найбільше і найменше.
Функціяf має локальний максимумc при наявності відкритого інтервалу, щоI міститьcI такий, який міститься в областіf таf(c)≥f(x) для всіхx∈I. Функціяf має локальний мінімум,c якщо існує відкритий інтервал, щоI міститьcI такий, який міститься в областіf таf(c)≤f(x) для всіхx∈I.
Отже, щоб визначити екстремуми (мінімуми і максимуми) функції f ( x ) , спочатку потрібно знайти критичні точки, в яких f ′ ( x ) = 0 або ж похідна не існує (і які належать області визначення функції). Тоді легко визначити інтервали, в яких у похідної незмінний знак.
Знайти критичні точки функції. Визначити знак похідної в околі кожної критичної точки. Вказати точки максимуму і мінімуму. Обчислити екстремуми – значення функції в цих точках.
Екстре́мум — найбільше або найменше значення функції на заданій множині. Розрізняють: лока́льний — екстремум у певному довільно малому околі даної точки; глоба́льний — екстремум в усій розглядуваній області значень функцій.
Точка х=1 буде точкою мінімуму, оскільки сівби від неї функції убуває, а праворуч зростає. Порахуємо значення функції в точках максимуму і мінімуму. f (1/3)=(1/3) ^ 3-2*(1/3) ^ 2 +1 / 3=4/27. f (1)=0.