Відображення ϕ : V → W називається лінійним відображенням, або лінійним оператором, якщо виконані такі властивості (властивості лінійності): 1) ϕ(x + y) = ϕx + ϕy для довільних векторів x, y ∈ V . 2) ϕ(αx) = α · ϕx для довільних векторів x ∈ V та числа α ∈ F. де ai ∈ V , αi ∈ F (i = 1, 2,…,s).
Оператор A, що діє з X до Y, називається лінійним операторомякщо для будь-яких двох елементів u і v з X і будь-якого числа α справедливо: A(u + v) = A(u ) + A(v) , A(α·u) = α· A(u).
Матриця лінійного відображення Щоб її отримати, необхідно подіяти відображенням на вектори базису і координати отриманих векторів (образів базисних векторів) записати в стовпці матриці. Матриця відображення аналогічна координат вектора.
Визначення: Розмір образа оператора називається рангом оператора, Розмірність ядра оператора називається дефектом оператора. Визначення: Лінійний оператор називається невиродженим, якщо у довільному базисі (E) даного лінійного простору V Оператор А має невироджену матрицю.